Леонид Федорович Быков родился 12 декабря 1928 года в селе Знаменское Славянского района Донецкой области.
С детства он мечтал об авиации и дважды поступал в летные училища. Первый раз - в Барнауле (в 1943 г., в эвакуации), но там его "разоблачили" из-за приписанного себе возраста и маленького роста (на тот момент 136 см). Второй раз - в Ленинграде (в 1945 г.), во 2-ю спецшколу для летчиков. Там он даже проучился месяц, но война уже заканчивалась и училище расформировали...
Тогда Леонид Быков и решил стать артистом, правда, конкурс в Киевскую школу актера он не прошел. Однако экзамены в Харьковский театральный институт сумел сдать.
После окончания театрального института Леонид Быков в 1951-60 годах работал в Харьковском театре им. Шевченко.
В кино свою первую роль он сыграл в 1952 году в фильме "Судьба Марины". Благодаря успеху картины у зрителей молодого актера заметили, и в 1954 году режиссеры Александр Ивановский и Надежда Кошеверова пригласили Леонида Быкова на большую роль Пети Мокина в фильме "Укротительница тигров".